Κύριε Ντεκάρτ,
Καταλαβαίνω ότι δεν ενοχληθήκατε τόσο από την εκτίμηση που τρέφω για τις οδηγίες σας και την επιθυμία μου να επωφεληθώ απ’ αυτές όσο από την αχαριστία εκείνων που στερούν από τον εαυτό τους και θέλουν να στερήσουν και το υπόλοιπο ανθρώπινο είδος απ’ αυτές. Δεν θα σας είχα στείλει μια καινούργια απόδειξη της αμάθειάς μου μέχρι να μάθω ότι έχετε απαλλαγεί από τους ανθρώπους τέτοιας γνώμης, αν ο κύριος Φαν Μπέργκεν δεν με είχε υποχρεώσει να το κάνω νωρίτερα, με την ευγένειά του να δεχτεί να μείνει στην πόλη μας μέχρι να του δώσω μια απάντηση σχετικά με τα όσα μου γράψατε στην επιστολή της 28ης Ιουνίου. Αυτά με έκαναν να διακρίνω καθαρά τα τρία είδη εννοιών που διαθέτουμε, τα αντικείμενά τους καθώς και τον τρόπο με τον οποίο οφείλουμε να τα χρησιμοποιούμε.
Επίσης, θεωρώ πως οι αισθήσεις μου δείχνουν ότι η ψυχή κινεί το σώμα αλλά δεν με διδάσκουν τίποτα (όχι περισσότερο απ’ όσο η διάνοια και η φαντασία) σχετικά με τον τρόπο που το επιτυγχάνει. Γι’ αυτόν τον λόγο, σκέφτομαι πως υπάρχουν ιδιότητες της ψυχής που μας είναι άγνωστες και οι οποίες θα μπορούσαν, ίσως, να ανατρέψουν στους Μεταφυσικούς Στοχασμούς σας όλους τους καλούς λόγους για τους οποίους πείστηκα σχετικά με τη μη-εκτατή φύση της ψυχής. Αυτή η αμφιβολία φαίνεται να εδράζεται στον κανόνα που εσείς ο ίδιος δίνετε εκεί, όταν μιλάτε για την αλήθεια και το ψεύδος, δηλαδή ότι κάθε σφάλμα κατά τον σχηματισμό των κρίσεων προέρχεται από την αδυναμία μας να αντιληφθούμε αυτό το πράγμα καθαρά. Μολονότι η έκταση δεν είναι αναγκαία ούτε αντιτίθεται στην σκέψη, θα μπορούσε να ταιριάζει σε κάποια άλλη λειτουργία της ψυχής η οποία δεν της είναι λιγότερο ουσιαστική. Τουλάχιστον, ανατρέπει την αντίφαση των Σχολαστικών ότι η ψυχή είναι όλη σε ολόκληρο το σώμα και όλη σε κάθε μέρος του. Δεν δικαιολογώ καθόλου τον εαυτό μου επειδή συγχέω την έννοια της ψυχής μ’ αυτήν του σώματος για τον ίδιο λόγο που το κάνουν και οι κοινοί άνθρωποι· όμως αυτό δεν με απαλλάσσει καθόλου από την πρωταρχική αμφιβολία και απελπίζομαι στην προσπάθεια να βρω μια βεβαιότητα στον κόσμο αν εσείς, που είστε ο μόνος που με προφύλαξε από τον σκεπτικισμό, δεν απαντήσετε σ’ αυτό στο οποίο με οδήγησε ο πρώτος μου συλλογισμός.
Παρ’ όλο που σας χρωστάω αυτή την εξομολόγηση και αυτή την ευγνωμοσύνη, θα το θεωρούσα πολύ απερίσκεπτο εκ μέρους μου εάν δεν γνώριζα ήδη την ευγένεια και την γενναιοδωρία σας, οι οποίες είναι ισάξιες με τις υπόλοιπες αρετές σας, τόσο από την εμπειρία που είχα μαζί σας όσο και από τη φήμη που σας συνοδεύει. Δεν υπάρχουν πιο ισχυροί μάρτυρες γι’ αυτό από τις επεξηγήσεις και τις συμβουλές που μου εμπιστεύεστε, τις οποίες φυλάω σαν έναν από τους μεγαλύτερους θησαυρούς που θα μπορούσε να έχει στην κατοχή της
η στοργικότατη φίλη στις υπηρεσίες σας,
Έγκμοντ, 17 Νοεμβρίου 1643
Έχοντας μάθει από τον κύριο de Pollot ότι η Υψηλότητά σας έκανε τον κόπο να εξετάσει το πρόβλημα των τριών κύκλων και ότι βρήκε τον τρόπο να το λύσει κάνοντας την υπόθεση μιας μόνο άγνωστης τιμής, σκέφτηκα ότι το καθήκον μου με υποχρέωνε να θέσω εδώ τον λόγο για τον οποίο πρότεινα τη λύση του με τη χρήση περισσότερων τιμών και τον τρόπο με τον οποίον τις ξεχωρίζω.
Όταν αντιμετωπίζω ένα γεωμετρικό πρόβλημα, προσπαθώ πάντοτε οι γραμμές που χρησιμοποιώ για να το επιλύσω να είναι παράλληλες ή να τέμνονται σχηματίζοντας ορθές γωνίες όσο είναι δυνατόν· δεν λαμβάνω υπ’ όψη μου άλλα θεωρήματα, παρά μόνο οι πλευρές των όμοιων τριγώνων να έχουν όμοιες διαστάσεις ανάμεσά τους και στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της βάσης να ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών. Δεν διστάζω να χρησιμοποιήσω περισσότερες άγνωστες τιμές για να αναχθεί το πρόβλημα σε τέτοιους όρους ώστε να εξαρτάται από τα δύο αυτά θεωρήματα. Αντίθετα, προτιμώ να υποθέτω περισσότερες τιμές παρά λιγότερες. Επειδή, μ’ αυτό τον τρόπο ελέγχω καλύτερα αυτό που κάνω και όταν τις επιλύω βρίσκω ευκολότερα τη συντομότερη οδό αποφεύγοντας περιττούς πολλαπλασιασμούς. Από την άλλη, εάν κάποιος σχηματίσει άλλες γραμμές και χρησιμοποιήσει άλλα θεωρήματα, ακόμα κι αν φτάσει κατά τύχη σε μια πιο σύντομη λύση του προβλήματος από τη δική μου, τις περισσότερες φορές θα έχει το αντίθετο αποτέλεσμα. Δεν έχουμε καλή εποπτεία αυτού που κάνουμε εάν δεν έχουμε την απόδειξη του θεωρήματος που χρησιμοποιούμε διαρκώς παρούσα στο νου μας. Σ’ αυτή την περίπτωση βρίσκουμε, σχεδόν πάντοτε, ότι η λύση εξαρτάται από τον υπολογισμό μερικών τριγώνων, τα οποία είναι είτε ορθογώνια είτε όμοια μεταξύ τους, και τότε επιστρέφουμε στην οδό που περιγράφω.
Για παράδειγμα, σχετικά με το πρόβλημα των τριών κύκλων, με τη βοήθεια του θεωρήματος που μας δείχνει τον τρόπο για να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός τριγώνου, χρειάζεται να υποθέσουμε μία μόνο άγνωστη τιμή. Επειδή, εάν A, B, C είναι τα κέντρα των τριών δεδομένων κύκλων και D το κέντρο αυτού που ψάχνουμε, οι τρεις πλευρές του τριγώνου ABC είναι δεδομένες και οι τρεις γραμμές AD, BD, CD συντίθενται από τις τρεις ακτίνες των δεδομένων κύκλων και την ακτίνα του κύκλου που αναζητάμε, ούτως ώστε υποθέτοντας x για την ακτίνα έχουμε όλες τις πλευρές των τριγώνων ABD, ACD, BCD [σχήμα 1]. Κατά συνέπεια, έχουμε την επιφάνειά τους, το άθροισμα της οποίας ισούται με την επιφάνεια του τριγώνου ABC. Μπορούμε απ’ αυτή την εξίσωση να υπολογίσουμε την ακτίνα x που είναι το μόνο ζητούμενο του συγκεκριμένου προβλήματος. Όμως, αυτή η οδός μού φαίνεται πως οδηγεί σε πλήθος περιττών πολλαπλασιασμών, για τους οποίους δεν θα ήθελα να ξοδέψω τρεις μήνες για να τους λύσω. Γι’ αυτό τον λόγο, αντί για τις δύο πλάγιες γραμμές, AB και BC, παίρνω τις τρεις καθέτους BE, DG, DF και θέτοντας τρεις άγνωστες τιμές, τη μία για το DF, την άλλη για το DG και μια τρίτη για την ακτίνα του κύκλου που αναζητώ, έχω όλες τις πλευρές των τριών ορθογώνιων τριγώνων ADF, BDG, CDF, οι οποίες μου δίνουν τρεις εξισώσεις όπου σε κάθε μια απ’ αυτές το τετράγωνο της βάσης ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών [σχήματα 2 και 3].
Σχήμα 1
Σχήμα 2
Σχήμα 3
Αφού έφτιαξα τόσες εξισώσεις όσες και οι άγνωστες τιμές, εξετάζω εάν από κάθε εξίσωση μπορεί να προκύψει μία με απλούστερους όρους. Εάν δεν γίνεται κάτι τέτοιο, προσπαθώ να φτάσω σε μία ενώνοντας δύο ή περισσότερες εξισώσεις με πρόσθεση ή αφαίρεση. Τέλος, αν κι αυτό δεν είναι αρκετό, εξετάζω μήπως θα ήταν καλύτερο να άλλαζα τους όρους με κάποιον τρόπο. Διότι, αν κάνουμε αυτή την εξέταση επιδέξια, συναντάμε εύκολα τη συντομότερη οδό για την επίλυση του προβλήματος και μπορούμε να δοκιμάσουμε πληθώρα πραγμάτων σε πολύ σύντομο χρόνο.
Συνεπώς, σ’ αυτό το παράδειγμα, υποθέτω ότι οι τρεις βάσεις των τριγώνων είναι:
AD = a + x
BD = b + x
CD = c + x
Και εφόσον AE = d, BE = e και CE = f,
DF ή GE = y, DG ή FE = z
έχω για τις πλευρές των ομώνυμων τριγώνων:
AF = d – z & FD = y,
BG = e – y & DG = z,
CF = f + z&FD = y.
Στη συνέχεια, κάνοντας το τετράγωνο της βάσης ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών, έχω τις τρεις ακόλουθες εξισώσεις:
aa + 2ax + xx = dd – 2dz + zz + yy,
bb + 2bx + xx = ee – 2ey + yy + zz,
cc + 2cx + xx = ff + 2fz + zz + yy,
και παρατηρώ πως μονάχα για μία απ’ αυτές δεν μπορώ να βρω καμία από τις άγνωστες τιμές χωρίς να σχηματίσω την τετραγωνική ρίζα, πράγμα που θα περιέπλεκε πολύ το πρόβλημα. Γι’ αυτό πηγαίνω στον δεύτερο τρόπο, δηλαδή να ενώσω δύο εξισώσεις μαζί· παρατηρώ τότε πως οι όροι xx, yy και zz είναι ίδιοι και στις τρεις εξισώσεις· εάν κάνω αφαίρεση ανάμεσα στις δύο εξισώσεις, όπως θα ήθελα, διαγράφονται, και οι μόνοι άγνωστοι όροι που απομένουν είναι οι απλοί x, y και z. Επίσης, παρατηρώ πως αν αφαιρέσω τη δεύτερη από την πρώτη ή από την τρίτη, θα έχω αυτούς τους τρεις όρους x, y και z· όμως, αν αφαιρέσω την πρώτη από την τρίτη, θα έχω μόνο x και z. Επιλέγω λοιπόν αυτή την τελευταία οδό και βρίσκω:
cc + 2cx – aa – 2ax = ff + 2fz – dd + 2dz
Στη συνέχεια, αφαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη ή από την τρίτη (επειδή η μία ανάγεται στην άλλη) και αντικαθιστώντας το z με τους όρους που μόλις βρήκα, έχω από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση το εξής:
aa +2ax – bb – 2bx = dd – 2dz – ee + 2ey
Τέλος, επιστρέφοντας σε μία από τις τρεις αρχικές εξισώσεις και αν στη θέση του y ή του z βάλουμε τις τιμές που τους αντιστοιχούν καθώς και τα τετράγωνα αυτών των τιμών για τα yy και zz, βρίσκουμε μια εξίσωση όπου μόνο το x και το xx είναι άγνωστα. Συνεπώς, μ’ αυτό τον τρόπο το πρόβλημα γίνεται απλό και δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε περαιτέρω. Επειδή τα υπόλοιπα δεν προωθούν την καλλιέργεια ή την ανύψωση του πνεύματος αλλ’ ασκούν μονάχα την υπομονή κάποιου στους κοπιώδεις υπολογισμούς. Ακόμα κι έτσι φοβάμαι ότι έγινα πληκτικός για την Υψηλότητά σας, επειδή κάθισα να γράψω γι’ αυτά τα απλά πράγματα, τα οποία γνωρίζει αναμφίβολα καλύτερα από μένα· αποτελούν όμως το κλειδί για να κατανοήσει τη δική μου άλγεβρα. Την παρακαλώ, πολύ ταπεινά, να πιστέψει πως αυτό που με ώθησε είναι η αφοσίωση με την οποία την τιμώ, και πως είμαι, Κυρία,
ο ταπεινός και πιστός υπηρέτης της Υψηλότητάς σας,
