Ακολουθήστε την «ΑΥΓΗ»
Ο επιλεγμένος κατάλογος δεν υπάρχει πλέον.

Χάγη, 21 Νοεμβρίου 1643

Κύριε Ντεκάρτ,

Εάν ήμουν τόσο ικανή να ακολουθήσω τις οδηγίες σας όσο επιθυμώ, θα είχατε ήδη παρατηρήσει τα αποτελέσματα της ευγένειάς σας στην πρόοδο που θα είχα σημειώσει στον συλλογισμό και στην άλγεβρα· ωστόσο αυτή τη στιγμή το μόνο που μπορώ να σας παρουσιάσω είναι σφάλματα. Όμως, όπως οι γηραιοί αμαρτωλοί έχουν χάσει κάθε αίσθηση ντροπής, έτσι κι εγώ έχω συνηθίσει να σας τα παρουσιάζω. Γι’ αυτό σχεδίασα να σας στείλω τη λύση στο πρόβλημα που μου προτείνατε με τη μέθοδο που με είχαν διδάξει παλαιότερα, ώστε να σας υποχρεώσω να μου υποδείξετε τί είναι αυτό που λείπει, αφού δεν έχω μεγάλη πείρα στη δική σας μέθοδο. Διότι παρατήρησα ότι έλειπαν πράγματα από τη δική μου λύση, καθώς δεν διέκρινα καθαρά τον τρόπο για να φτάσω σε ένα θεώρημα. Όμως δεν θα είχα μάθει ποτέ τον λόγο χωρίς την τελευταία σας επιστολή, η οποία μου προσφέρει όλη την ευχαρίστηση που αναζητούσα και με διδάσκει περισσότερα απ’ όσα θα είχα μάθει με τον δικό μου δάσκαλο. Γι’ αυτόν τον λόγο σάς είμαι υπόχρεη και δεν θα είχα συγχωρήσει ποτέ τον κύριο ντε Παλότι εάν είχε χρησιμοποιήσει τη λύση σας σύμφωνα με τις προσταγές σας. Πάντως, δεν ήθελε να μου τη δώσει, παρά μόνο υπό την προϋπόθεση ότι θα σας στείλω ό,τι έκανα. Συνεπώς, να μην θεωρήσετε άσχημο το γεγονός ότι σας στέλνω μια περιττή ενόχληση, αφού υπάρχουν πολύ λίγα πράγματα που δεν θα έκανα για να αποκτήσω τα οφέλη της καλής σας πίστης, την οποία εκτιμάει απεριόριστα

η στοργικότατη φίλη στις υπηρεσίες σας,

Ελισάβετ.

 

Έγκμοντ, 29 Νοεμβρίου1643

Κυρία,

Η λύση την οποία η Υψηλότητά σας είχε την ευχαρίστηση να μου στείλει είναι τόσο σωστή ώστε δεν είναι δυνατόν να επιθυμεί κάτι περισσότερο· επιπλέον, έμεινα τόσο έκπληκτος βλέποντάς την που το μόνο που μπορώ να προσθέσω είναι ότι γέμισα με χαρά και αισθάνθηκα μια ελαφρά αυταρέσκεια μόλις διαπίστωσα ότι οι υπολογισμοί που χρησιμοποίησε η Υψηλότητά σας είναι ταυτόσημοι μ’ αυτούς που προτείνω στη Γεωμετρία μου. Η εμπειρία με έχει διδάξει πως τα περισσότερα πνεύματα που έχουν την ικανότητα να κατανοούν τους συλλογισμούς που απαιτεί η μεταφυσική δεν είναι ικανά να κατανοήσουν αυτούς της άλγεβρας· και αντίστροφα, όσοι είναι ικανοί στην άλγεβρα δεν μπορούν συνήθως να παρακολουθήσουν κανέναν άλλο συλλογισμό. Μόνο για την Υψηλότητά σας όλα τα πράγματα είναι εξίσου εύκολα. Πράγματι είχα ήδη αρκετές αποδείξεις γι’ αυτό, ώστε να μην έχω καμία αμφιβολία· ωστόσο φοβόμουν μήπως της έλειπε η υπομονή που είναι απαραίτητη για να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που παρουσιάζονται στην αρχή των υπολογισμών. Διότι πρόκειται για ιδιότητα που εμφανίζεται εξαιρετικά σπάνια στα άριστα πνεύματα και στα πρόσωπα υψηλής στάθμης.

Από τη στιγμή που ξεπεράσαμε αυτήν τη δυσκολία, η Υψηλότητά σας θα αντλήσει πολύ μεγαλύτερη ευχαρίστηση από τα υπόλοιπα· αν αντικαταστήσει ένα μόνο γράμμα αντί για περισσότερα, όπως έχει κάνει πολλές φορές εδώ, οι πράξεις δεν θα είναι τόσο δύσκολες. Πρόκειται για κάτι που μπορούμε να κάνουμε σχεδόν πάντα όταν θέλουμε να διερευνήσουμε τη φύση του προβλήματος· δηλαδή να εξετάσουμε αν μπορεί να λυθεί με τον διαβήτη και τον κανόνα ή αν είναι αναγκαίο να προσθέσουμε κάποιες άλλες κυρτές γραμμές πρώτου ή δεύτερου είδους κ.λπ., πράγμα το οποίο είναι και η οδός για να βρούμε τη λύση. Συνήθως μου προκαλεί μεγάλη ευχαρίστηση να εφαρμόζω ακριβώς αυτόν τον τρόπο για κάποια προβλήματα. Διότι μου φαίνεται ότι το περιττό, το οποίο βασίζεται στην κατασκευή και στην απόδειξη με τη χρήση των προτάσεων του Ευκλείδη αποκρύπτοντας την ίδια στιγμή την άλγεβρα, αποτελεί διασκέδαση για τους αδέξιους γεωμέτρες αφού δεν απαιτεί πολλή ευφυία ούτε και πολλή γνώση. Όμως, όταν θέλουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα ώστε να φτάσουμε σε ένα θεώρημα το οποίο θα λειτουργήσει σαν γενικός κανόνας για την επίλυση παρόμοιων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να διατηρήσουμε μέχρι τέλους τα ίδια γράμματα που θέσαμε από την αρχή. Ακόμα καλύτερα, εάν αλλάξουμε κάποια ώστε να διευκολύνουμε τις πράξεις, είναι απαραίτητο να τα αντικαταστήσουμε στο τέλος, διότι πολύ συχνά συμβαίνει το ένα να αναιρεί το άλλο· πράγμα το οποίο δεν μπορούμε να δούμε όταν τα αλλάζουμε.

Επίσης είναι καλό να παρατηρήσουμε ότι οι τιμές που αναπαριστούμε με τα γράμματα σχετίζονται μεταξύ τους όσο είναι δυνατόν. Αυτό καθιστά το θεώρημα κομψότερο και πιο σύντομο, επειδή ό,τι εκφράζεται από μία τιμή, εκφράζεται με τον ίδιο τρόπο και από τις άλλες· κι αυτό μας επιτρέπει να αποφεύγουμε σφάλματα κατά τις πράξεις. Επειδή τα γράμματα που αναπαριστούν τις τιμές που σχετίζονται μεταξύ τους, πρέπει να κατανέμονται με τον ίδιο τρόπο. Όταν αυτό απουσιάζει, παρατηρούμε το σφάλμα μας.

Συνεπώς, για να βρούμε το θεώρημα που υποδεικνύει ποια είναι η ακτίνα του κύκλου που εφάπτεται λόγω θέσης σε τρεις δεδομένους, δεν χρειάζεται στο συγκεκριμένο παράδειγμα να θέσουμε τα τρία γράμματα a, b, c για τις γραμμές AD, DC, DB, αλλά για τις γραμμές AB, AC καιBC· επειδή αυτές οι τελευταίες έχουν την ίδια σχέση μεταξύ τους με τις γραμμές AH, BH καιCH, κάτι που δεν είχαν οι πρώτες. Αν κάνουμε τις πράξεις μ’ αυτά τα έξι γράμματα χωρίς να τα αλλάξουμε ή να προσθέσουμε άλλα, σύμφωνα με την οδό που ακολούθησε η Υψηλότητά σας (επειδή είναι καλύτερη απ’ αυτήν που πρότεινα εγώ), πρέπει να φτάσουμε σε μια κανονική εξίσωση που θα μας δώσει ένα σύντομο θεώρημα. Επειδή τα τρία γράμματα a, b, c έχουν διατεθεί σ’ αυτήν με τον ίδιο τρόπο όπως τα άλλα τρία d, e, f[σχήμα 4].

Σχήμα 4

Επειδή ο υπολογισμός αυτός είναι ανιαρός, αν η Υψηλότητά σας επιθυμεί να προσπαθήσει, θα της είναι πιο εύκολο να υποθέσει ότι οι τρεις δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται και συνεπώς να χρησιμοποιήσει σε όλες τις πράξεις μόνο τα τέσσερα γράμματα d, e, f, x, τα οποία, καθώς αποτελούν τις ακτίνες των τεσσάρων κύκλων, σχετίζονται με παρόμοιο τρόπο το ένα με το άλλο. Σε πρώτο χρόνο θα βρει:

και

Όπου, ήδη, μπορεί να παρατηρήσει ότι το x είναι για τη γραμμή AK ό,τι το e για τη γραμμή AD, αφού ορίζεται από το τρίγωνο AHC, όπως και η άλλη από το τρίγωνο ABC. Τελικά, θα προκύψει αυτή η εξίσωση:

ddeeff + ddeexx + ddffxx + eeffxx = 2deffxx + 2deeffx + 2deefxx + 2ddeffx + 2ddefxx +2ddeefx.

Απ’ αυτήν προκύπτει το θεώρημα ότι τα τέσσερα αθροίσματα που παράγονται πολλαπλασιάζοντας το τετράγωνο αυτών των τριών ακτίνων ισούνται με το διπλάσιο των έξι αθροισμάτων τα οποία παράγονται από το γινόμενο των δύο ακτίνων και από το τετράγωνο των δύο άλλων. Αυτό αρκεί για να μας χρησιμεύσει σαν κανόνας ώστε να υπολογίσουμε την ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου, η οποία μπορεί να χαραχτεί ανάμεσα στους τρεις εφαπτόμενους δεδομένους κύκλους. Επειδή, αν οι ακτίνες αυτών των τριών είναι, για παράδειγμα,

θα προκύψει 576 για το ddeeff, 36xxγια το ddeexx και ούτω καθεξής. Οπότε θα προκύψει:

εάν δεν κάνω λάθος στους υπολογισμούς μου.

Η Υψηλότητά σας, σ’ αυτό το σημείο, μπορεί να διακρίνει δύο πολύ διαφορετικούς τρόπους για την επίλυση ενός προβλήματος ανάλογα με τον σκοπό που έχουμε. Επειδή θέλησε να μάθει τη φύση του προβλήματος και με ποιον τρόπο μπορούμε να το λύσουμε, θεωρώ δεδομένες τις κάθετες ή τις παράλληλες γραμμές και προϋποθέτω περισσότερες άγνωστες τιμές με στόχο να μην κάνω περιττούς πολλαπλασιασμούς και να δω καθαρότερα τα πιο σύντομα μονοπάτια. Αντίθετα, θέλοντας να βρω τη λύση, θεωρώ δεδομένες τις πλευρές του τριγώνου και προϋποθέτω ένα μόνο άγνωστο γράμμα. Όμως προκύπτει πληθώρα προβλημάτων τα οποία μπορούμε να επιλύσουμε εφαρμόζοντας την ίδια μέθοδο και δεν έχω καμία αμφιβολία ότι η Υψηλότητά σας θα διαπιστώσει πολύ σύντομα πόσο μακριά μπορεί να φτάσει ο ανθρώπινος νους μ’ αυτή την επιστήμη. Θα θεωρούσα τον εαυτό μου ευτυχή εάν μπορούσα να συνεισφέρω κάτι σ’ αυτό, αφού έχω ιδιαίτερο ζήλο να είμαι,

Κυρία,

ο ταπεινός και πιστός υπηρέτης της Υψηλότητάς σας,

Ντεκάρτ.

 

Δείτε όλα τα σχόλια

Κύριο άρθρο

Ξέρουν μόνο να γκρεμίζουν

Να γκρεμίζεις είναι εύκολο, το δύσκολο είναι να χτίσεις. Ως αξιωματική αντιπολίτευση, η Ν.Δ. επιδόθηκε συστηματικά σε μια χυδαία επιχείρηση κατεδάφισης όλων των κόπων του ελληνικού λαού, αυτών που επέτρεψαν στην κυβέρνηση ΣΥΡΙΖΑ να βγάλει τη χώρα από τα Μνημόνια...

Δειτε ολοκληρο το αρθρο
Όλες οι Ειδήσεις