Live τώρα    
19°C Αθήνα
ΑΘΗΝΑ
Ελαφρές νεφώσεις
19 °C
16.5°C20.8°C
6 BF 42%
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Ελαφρές νεφώσεις
22 °C
20.5°C23.1°C
3 BF 36%
ΠΑΤΡΑ
Σποραδικές νεφώσεις
22 °C
19.9°C24.3°C
2 BF 35%
ΗΡΑΚΛΕΙΟ
Αραιές νεφώσεις
18 °C
16.6°C19.9°C
5 BF 65%
ΛΑΡΙΣΑ
Αίθριος καιρός
19 °C
19.0°C19.0°C
2 BF 33%
Η επίλυση προβλήματος ως «εφαρμογή»
  • Μείωση μεγέθους γραμματοσειράς
  • Αύξηση μεγέθους γραμματοσειράς
Εκτύπωση

Η επίλυση προβλήματος ως «εφαρμογή»

Ψευδο-αντικειμενοποίηση εικόνων και εργαλειοποίηση μαθηματικών κειμένων στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Β΄μέρος)

Το ιδεολόγημα της “μέτρησης” παρεμβαίνει άμεσα στην πρόσληψη των γεωμετρικών σχημάτων, εντάσσοντάς τα εντός ή εκτός της σφαίρας του πραγματικού. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι το ιδεολόγημα της μέτρησης συμπυκνώνεται στην φράση: «Πραγματικό είναι το μετρήσιμο». Δηλαδή, «αν κάτι είναι πραγματικό, τότε είναι μετρήσιμο» και «αν κάτι είναι μετρήσιμο, τότε είναι πραγματικό». Μέσα σ’ ένα τέτοιο πλαίσιο, το γεωμετρικό σχήμα αντιμετωπίζεται ως εικόνα. Μια εικόνα μπορεί να αντικατοπτρίζει κάτι που είτε ανήκει είτε δεν ανήκει στη σφαίρα του πραγματικού. Αν μας ζητείται να δείξουμε μια σχέση ανάμεσα σε δύο πράγματα στην επικράτεια της Μεταφυσικής (με την αυστηρή φιλοσοφική έννοια), με βάση μεταφυσικές αρχές και εργαλεία, τότε η εικόνα συνιστά απλό σημαίνον, ένα σύνολο ιδιοτήτων που πρέπει να εκφραστούν γλωσσικά, και, κατόπιν επεξεργασίας, να φτάσουμε στο ζητούμενο. Αν, όμως, η εικόνα αντικατοπτρίζει κάτι που ανήκει στη σφαίρα του πραγματικού, τότε ο «πολιτισμός της εικόνας» και το ιδεολόγημα της μέτρησης επιβάλλουν ως κυρίαρχο τρόπο προσέγγισης την αντιπαραβολή των σχημάτων βάσει της διαδικασίας «βρείτε ομοιότητες και διαφορές». Εδώ, η έννοια της ομοιότητας δεν έχει την γνωστή μαθηματική σημασία, όντας διαμεσολαβημένη υπόρρητα από την πρόχειρη εμπειρική προσέγγιση (στη μορφή ή στο περιεχόμενο).

Σε αυτό ακριβώς το σημείο εμφανίζεται η (ψευδο-) έννοια του “μετρήσιμου”. Αν, με μια εμπειριστική αντίληψη, την πραγματικότητα μπορούμε μόνο να την προσεγγίσουμε με τις αισθήσεις μας (μεταφορικά και κυριολεκτικά), η αντιπαραβολή δύο πραγματικών σχημάτων συνίσταται στην κατά προσέγγιση απόδοση μετρικών σχέσεων. Ισοδύναμα, ο προσδιορισμός οποιασδήποτε σχέσης ανάμεσα σε δύο σχήματα μπορεί να γίνει μόνο μέσω της κατά προσέγγιση μέτρησης και αντιπαραβολής των διαφόρων μερών τους, και όχι, για παράδειγμα, μέσω ενός μετασχηματισμού τους.

Απ’ αυτήν ακριβώς την προσέγγιση του πραγματικού προκύπτει και ο κυρίαρχα εμπεδωμένος χαρακτηρισμός της μοντέρνας άλγεβρας ως «άχρηστης για την πραγματική ζωή». Εδώ συναντούμε την ιδεολογικά διαμεσολαβημένη χρήση δύο εννοιών: χρησιμότητα και πραγματικότητα. Αν η αφηρημένη άλγεβρα είναι άχρηστη για την πραγματική ζωή, θα είναι επειδή τα μαθηματικά της αντικείμενα δεν περιγράφουν την άμεσα βιωμένη πραγματικότητα, άρα, εν τέλει, επειδή δεν ανήκουν στο πραγματικό. Επομένως, αν μια «μέτρηση» αναφέρεται στη σύγχρονη (ανθρώπινα βιωμένη) πραγματικότητα τότε είναι χρήσιμη, και ό,τι είναι χρήσιμο, θα είναι χρήσιμο για την κατά προσέγγιση αποτύπωση του πραγματικού. Επομένως, το χρήσιμο είναι μετρήσιμο. Από την άλλη μεριά, το μετρήσιμο είναι εξ ορισμού χρήσιμο, αφού είναι διαρκώς προς χρήση. Συνεπώς, «χρήσιμο (και πραγματικό) είναι το μετρήσιμο και μόνο αυτό».

Τι σημαίνουν τα παραπάνω για την μαθηματική προσέγγιση της πραγματικότητας; Ποια είναι η «πραγματική ζωή» για την οποία τα μαθηματικά θα όφειλαν να μας δίνουν «εφόδια»; Σύμφωνα με την παραπάνω συλλογιστική, η πραγματική ζωή δεν είναι τίποτα άλλο παρά διαρκής προσπάθεια προσέγγισης ιδανικών καταστάσεων, την αναγκαιότητα των οποίων δεχόμαστε χωρίς απόδειξη. Ακόμη, ποια η σχέση μεταξύ μετρήσιμου και εφαρμογής; Σύμφωνα με τα παραπάνω, ό,τι είναι χρήσιμο πρέπει να έχει «εφαρμογή στην πραγματική ζωή». Ό,τι δεν είναι μετρήσιμο, δεν είναι χρήσιμο· επομένως είναι άχρηστο επειδή δεν έχει «εφαρμογές». Αυτό, όμως, προϋποθέτει μια συγκεκριμένη και συνολική παραδοχή ως προς την πρόσληψη της εκπαίδευσης εν γένει: Προκειμένου να δεχθούμε όλες τις ανωτέρω αντιλήψεις, πρέπει να δεχθούμε ότι η εκπαίδευση δεν έχει νόημα καθεαυτή.

Είναι άραγε η εκπαίδευση μια διαδικασία ετεροκαθοριζόμενη από τις κυρίαρχες εννοιολογήσεις του πραγματικού, χωρίς νόημα καθεαυτή; Και τα μαθηματικά έχουν νόημα μόνο ως καταγραφή αλγοριθμοποιημένων βημάτων για εφαρμογές-συνταγές; Πιστεύουμε ότι και στα δύο ερωτήματα, η απάντηση της εκπαιδευτικής, και ιδιαίτερα της μαθηματικής εκπαιδευτικής κοινότητας, πρέπει να είναι αρνητική. Γιατί, το ιδεολόγημα της “εφαρμογής” φέρει ενδογενώς μια παραμορφωμένη εικόνα των ίδιων των μαθηματικών. Αν τα μαθηματικά έχουν νόημα μόνο στο βαθμό που συνδέονται με εφαρμογές, τότε θα έπρεπε να προϋποθέσουμε ότι τα μαθηματικά ως επιστημονικό πεδίο έχουν νόημα μόνο στο βαθμό που το περιεχόμενο αυτού του πεδίου μεταφέρεται σε κάποια άλλα πεδία, τα οποία είναι «εφαρμοσμένα». Αλλά, η υιοθέτηση μιας διαδικασίας μεταφοράς της μαθηματικής γνώσης σε άλλα πεδία, προκειμένου αυτή να αποκτήσει νόημα, σημαίνει ότι η μελέτη των μαθηματικών εννοιών στη γενικότητά τους δεν έχει νόημα, δηλαδή, ότι τα θεωρητικά μαθηματικά δεν έχουν νόημα καθεαυτά ή ότι σε τελική ανάλυση δεν υπάρχουν, καθώς, αν είμαστε αποφασισμένοι να βαδίσουμε μέχρι τέλους προς την λάθος κατεύθυνση, για κάθε μαθηματικό κείμενο μπορούμε να βρούμε κάποια τελική χρήση του σε μια εφαρμογή.

Συνεπώς, το ιδεολόγημα της “εφαρμογής” συνιστά μια διαδικασία μεταφοράς-ώθησης του μαθηματικού κειμένου έξωθεν του εαυτού του, έως τον βαθμό που σταματά να είναι κείμενο, δηλαδή κείμενο φέρον ενδογενώς νόημα. Με αυτόν τον τρόπο, η απόδειξη και η λύση μπορούν να αντιμετωπίζονται ως συνταγές, και τα γεωμετρικά σχήματα ως εικόνες: με αυτόν τον τρόπο η “εφαρμογή” συγκροτείται ως εργαλειοποιημένη μεταφορά.

Ο Imre Lakatos γράφει στις Αποδείξεις & Ανασκευές ότι «η μαθηματική δραστηριότητα παράγει μαθηματικά», επομένως δεν μπορεί παρά να έχει νόημα καθεαυτή. Επίσης, επισημαίνει ότι τα μαθηματικά «αποκτούν δικούς τους αυτόνομους νόμους ανάπτυξης» και ο «αυθεντικά δημιουργικός μαθηματικός είναι μια προσωποποίηση, μια ενσάρκωση αυτών των νόμων, οι οποίοι πραγματώνονται μόνο μέσα στην ανθρώπινη δράση».[1] Επομένως, βλέπουμε για ποιον λόγο δεν θα ίσχυε μια ενδεχόμενη εμπειριστική ένσταση για πιθανή παραμέληση του ανθρώπινου παράγοντα.

1. Αναστοχασμός και “ανακλαστικότητα”, αντικειμενοποίηση και ψευδο-αντικειμενοποίηση στην εκπαίδευση και την επιστήμη

Ο κοινωνιολόγος Ulrich Beck και οι συνεργάτες του αποκαλούν άνθρωπο της Δεύτερης (ή Ύστερης) Νεωτερικότητας τον ανθρώπου που τον χαρακτηρίζει η ανακλαστικότητα (reflexivity), σε αντίθεση με τον αναστοχασμό (reflection): «Οι νοητικές ανακλάσεις (reflexes) είναι απροσδιόριστες. Είναι άμεσες (immediate). [...] Έχουν να κάνουν με έναν κόσμο ταχύτητας και γρήγορης λήψης αποφάσεων. Τα άτομα της Δεύτερης Νεωτερικότητας δεν διαθέτουν αρκετή απόσταση αναστοχασμού από τον εαυτό τους, προκειμένου να κατασκευάσουν μια γραμμική, αφηγηματική βιογραφία. [...] Το ‘μη-γραμμικό’ άτομο μπορεί να θέλει να είναι αναστοχαστικό, αλλά δεν έχει ούτε το χρόνο ούτε το χώρο για να στοχαστεί (να σκεφτεί). Συνδέει μεταξύ τους δίκτυα, φτιάχνει συμμαχίες, κάνει συμφωνίες. Πρέπει να ζήσει, είναι υποχρεωμένο να ζήσει σε μια ατμόσφαιρα ρίσκου, στην οποία και η γνώση, αλλά και οι ευκαιρίες είναι αβέβαιες.»[2]

Στο ίδιο κοινωνικό-ιστορικό πλαίσιο ο Scott Lash γράφει: «Το άτομο της Πρώτης Νεωτερικότητας είναι αναστοχαστικό (reflective), ενώ της Δεύτερης Νεωτερικότητας είναι ανακλαστικό (reflexive). Η ιδέα της αναστοχαστικότητας ανήκει στη φιλοσοφία της συνείδησης στην Πρώτη Νεωτερικότητα. [...] Το να στοχάζεσαι (να σκέφτεσαι) σημαίνει ότι κατά κάποιον τρόπο υποβάλλεις το αντικείμενο κάτω από το υποκείμενο της γνώσης.»[3]

Κατ’ αυτόν τον τρόπο, οι θετικές επιστήμες και τα μαθηματικά της Πρώτης Νεωτερικότητας θα λέγαμε ότι “αντικειμενοποιούν” τον κόσμο -κάτι που δεν είναι πλέον ευρύτερα αποδεκτό στις κοινωνικές επιστήμες ως βέβαιο μεθοδολογικό τους χαρακτηριστικό, γι’ αυτό και η ιστορία των θετικών επιστημών ή η επιστημολογία τους δεν μπορεί να πάρει την «αντικειμενοποίηση» ως απροβλημάτιστη έννοια. Όμως η εκπαιδευτική και η αντικειμενοποιημένη πολιτική χρήση της επιστήμης (και ιδιαίτερα των μαθηματικών) στη Δεύτερη Νεωτερικότητα έχουν γίνει πλέον παθολογικές, καθώς κατασκευάζουν πρόχειρες ιδεολογικές εικόνες της επιστημονικής δραστηριότητας όπως η “μέτρηση” (σε αντίθεση λ.χ. με την έννοια του μετρικού χώρου ή της θεωρίας μέτρου στα μαθηματικά) και η “εφαρμογή”. Τέτοιες εικόνες τις ονομάζουμε «ψευδο-αντικειμενοποιημένες εικόνες» ή «ψευδο-εικόνες».

[Μια εκτενέστερη μορφή του κειμένου στο μπλογκ των «Αναγνώσεων». Το κείμενο αποτελεί μέρος ενός κεφαλαίου από το υπό έκδοση βιβλίο Τ. Πατρώνης (επιμ.), Κριτικο-ερμηνευτικές προσεγγίσεις στα Μαθηματικά, την Εκπαίδευση, τη Φιλοσοφία και τη Λογοτεχνία. Προς μια Παιδαγωγική με Κριτική Διεπιστημονικότητα, εκδόσεις Αμολγός]

* Γιάννης - Παναγιώτης Βούλγαρης, απόφοιτος του Μαθηματικού Πατρών, Τάσος Πατρώνης, αφυπηρετήσας επίκουρος καθηγητής του Μαθηματικού Πατρών

[1] I. Lakatos, Αποδείξεις & Ανασκευές, επιμ. Βουτσινά Π., Τροχαλία, 1996, σελ. 226-227. Οι υπογραμμίσεις είναι δικές μας.

[2] U. Beck, W. Bonns & Christoph Lau, «The theory of Reflexive Modernization: Problematic, Hypotheses and Research Programme», στο: Theory, Culture & Society, Vol. 20 (2), 1-33, 2003.

[3] S. Lash, «Non-linear Individualization», στο: U. Beck & E. Beck-Gernsheim (editors), Individualization, Sage, 2001 (οι υπογραμμίσεις δικές μας).

 

 

ΣΧΕΤΙΚΑ ΑΡΘΡΑ

ΓΝΩΜΕΣ

ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ

EDITORIAL

ΑΝΑΛΥΣΗ

SOCIAL