Η Γεωμετρία είναι υπερήφανη
που μπορεί να πραγματοποιήσει τόσα πολλά,
δανειζόμενη τόσα λίγα από αλλού.
Isaac Newton
Στο πλαίσιο του νεοφιλελεύθερου ιδεολογήματος της σύνδεσης της εκπαίδευσης με την αγορά εργασίας αναπτύσσεται και εμπεδώνεται, θεσμικά και κοινωνικά, η αντίληψη ότι στο επίκεντρο της εκπαιδευτικής διαδικασίας, στη μαθηματική εκπαίδευση και όχι μόνο, είναι –και πρέπει να είναι– οι (ψευδο-)έννοιες της “μέτρησης” (ή του “μετρήσιμου”) και της “εφαρμογής”.
Θα επιχειρήσουμε να δείξουμε πρώτα ότι, μέσα από την ανάλυση του γενικού τρόπου αντιμετώπισης ορισμένων κατηγοριών ασκήσεων γεωμετρίας, οι οποίες εμφανίζονται ιδίως στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, το ιδεολόγημα της “μέτρησης” και της “εφαρμογής” αποδεικνύεται διδακτικά και ερμηνευτικά ανεπαρκές, όσον αφορά την προσέγγιση του μαθηματικού κειμένου. Στη συνέχεια, αφού δείξουμε πώς το ιδεολόγημα αυτό συνδέεται με μια ευρύτερη παθολογία της Ύστερης Νεωτερικότητας, θα αναλύσουμε τον τρόπο αυθόρμητης αντιμετώπισης, εκ μέρους των μαθητών δύο διαφορετικών λυκείων, ενός προβλήματος σκόπιμα διαμορφωμένου από εμάς, όπου διαφαίνεται και μια εναλλακτική προοπτική.
1. Μέτρηση, εφαρμογή και χρησιμότητα ως εκφάνσεις της κυρίαρχης ιδεολογίας στην πρόσληψη της σχολικής γεωμετρίας και άλγεβρας
Ξεκινάμε με τις, καθόλου τυχαία παραμελημένες στα σχολικά εγχειρίδια, κατασκευαστικές ασκήσεις. Οι μαθητές αντιμετωπίζουν πολύ σοβαρά προβλήματα στην αντιμετώπιση τέτοιων ασκήσεων, επειδή σε αυτές ακριβώς τις ασκήσεις αναδύεται με αδιαπραγμάτευτο τρόπο το αδιέξοδο του μονοδιάστατου τρόπου ανάγνωσης του μαθηματικού κειμένου, τον οποίο επιβάλει υπόρρητα το ιδεολόγημα της “μέτρησης” και της “εφαρμογής”: η λύση της άσκησης αντιμετωπίζεται ως συνταγή, η οποία πρέπει να «ανακαλυφθεί» εκ των υστέρων και χωρίς πολλή συζήτηση από τους μαθητές.
Η φράση «φέρουμε την διαγώνιο του παραλληλογράμμου», ως μέρος της επίλυσης μιας άσκησης, αντιμετωπίζεται σαν ένα βήμα διεκπεραίωσης της συνταγής, την οποία ο διδάσκων παρουσιάζει ως masterchef σε σεμινάριο μαγειρικής για αρχάριους. Το ερώτημα, «γιατί φέρουμε την διαγώνιο του παραλληλογράμμου;», θεωρείται άκυρο: έτσι ολοκληρώνεται η «συνταγή», έτσι «βγαίνει» η άσκηση. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι, αν αυτός ήταν ο μοναδικός τρόπος να λυθεί η άσκηση, και παρουσιαζόταν χωρίς να δοθεί απάντηση στο ερώτημα «γιατί φέρουμε την διαγώνιο του παραλληλογράμμου;», τότε η ανάγκη δικαιολόγησης του βήματος «φέρω τη διαγώνιο» θα μπορούσε να συνειδητοποιηθεί από τους μαθητές μόνο δια αποκαλύψεως, «διαισθητικά». Η απάντηση που λαμβάνουμε συνήθως είναι η εξής: Συνήθως δεν υπάρχει μόνο ένας τρόπος να λυθεί μια άσκηση, και ο μαθητής μπορεί να μάθει να λύνει τις διάφορες κατηγορίες ασκήσεων μέσω μιας διαδικασίας δοκιμής και λάθους [trial and error]∙ με αυτόν τον τρόπο, όλα είναι ζήτημα «εξάσκησης», και δεν υπάρχει κάποιο ζήτημα μεταφυσικής πρόσληψης των επιμέρους βημάτων επίλυσης.
Ακόμη κι αν παραβλέψουμε το γεγονός ότι η «εξάσκηση» δεν εξαλείφει καθόλου την «επιφοίτηση» (ως προϋπόθεση της επίλυσης των επιμέρους ασκήσεων), και τα γνωστά μαθησιακά αποτελέσματα που προκαλεί αυτός ο τρόπος διδασκαλίας των Μαθηματικών, ακόμη κι αν αποδεχθούμε πλήρως την σε ακραίο βαθμό εμπειριστική διαδικασία δοκιμής και λάθους ως βάση της συνολικής εκπαιδευτικής διαδικασίας, υπάρχει ένα δομικό πρόβλημα το οποίο παραμένει. Το γεγονός ότι η λύση κάθε άσκησης μπορεί να αλγοριθμοποιηθεί εκ των υστέρων δεν σημαίνει ότι είναι φύσει αλγοριθμική, δηλαδή αλγοριθμική ως προς τον τρόπο σύλληψής και παραγωγής της. Σε αυτό το σημείο αναδεικνύεται ουσιωδώς ο κειμενικός χαρακτήρας των Μαθηματικών: το κείμενο απαιτεί ερμηνεία από υποκείμενα-αναγνώστες, και όχι αυτοματοποιημένη εκτέλεση από έμπειρους τεχνίτες.
Ο Ludwig Wittgenstein γράφει στο Tractatus Logico-Philosophicus: «Κανένα μέρος της εμπειρίας μας δεν είναι και a priori. Όλα όσα βλέπουμε θα μπορούσαν να είναι και διαφορετικά. Όλα όσα γενικά μπορούμε να περιγράψουμε θα μπορούσαν να είναι διαφορετικά. Δεν υπάρχει καμμία τάξη a priori στα πράγματα».[1] Και συνεχίζει παρακάτω: «Ολόκληρη η σύγχρονη κοσμοθεωρία βασίζεται στην πλάνη πως οι λεγόμενοι φυσικοί νόμοι αποτελούν τις εξηγήσεις των φυσικών φαινομένων». Με αυτό τον τρόπο, «οι άνθρωποι σταματούν μπροστά στους φυσικούς νόμους σαν μπροστά σε κάτι απαραβίαστο, όπως οι παλαιότεροι μπροστά στο Θεό και στη Μοίρα. Και οι δύο έχουν πραγματικά και δίκιο και άδικο. Οι παλαιοί μια φορά είναι σαφέστεροι στο βαθμό που με σαφήνεια αναγνωρίζουν ένα τέρμα, ενώ στο νέο σύστημα είναι σα να φαίνεται πως όλα έχουν εξηγηθεί».[2]
Η ενσωμάτωση, στην κυρίαρχη ιδεολογία, της αντίληψης πως όλα έχουν (ήδη) εξηγηθεί με βάση τους φυσικούς νόμους, διατυπωμένους σε τυπική μαθηματική γλώσσα, παραμορφώνει και στρέφει ενάντια στον εαυτό τους δύο από τις πιο γνωστές προτάσεις του Wittgenstein στο Tractatus: (α) «Οι προτάσεις της λογικής είναι ταυτολογίες», (β) «Οι προτάσεις της λογικής, λοιπόν, δεν λένε τίποτα».[3] Αν οι προτάσεις της λογικής, άρα εν πολλοίς και οι τυπικές αποδείξεις των μαθηματικών, δεν λένε τίποτα επειδή είναι ταυτολογίες ενός σύμπαντος εννοιών που έχει ήδη εξηγήσει καθολικά την πραγματικότητα, τότε για ποιο λόγο να θέλει ένας μαθητής να τις διδαχθεί; Ο μαθητής δεν μπορεί να καταλάβει συνήθως για ποιον λόγο, προς τί διδάσκεται μαθηματικά. Αυτό το «προς τί;» θα μπορούσε να σημαίνει είτε «για ποιον λόγο (αιτία);» είτε «για την δημιουργία ποιου αποτελέσματος;». Θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι, αντί η απάντηση στο ερώτημα «προς τί;» να είναι η αναζήτηση μιας αιτίας, και συγκεκριμένα του λόγου για τον οποίο τα μαθηματικά είναι μια δραστηριότητα που έχει νόημα καθεαυτή, η ιδεολογία της εφαρμογής ωθεί τους μαθητές στο να προσπαθούν να απαντήσουν σε αυτό το ερώτημα ψάχνοντας ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα, μια «εφαρμογή» των μαθηματικών που διδάσκονται.
Στην παραπάνω μεταφορική χρήση της μαγειρικής, επικεντρωθήκαμε στην (ψευδο-) έννοια της «εφαρμογής», και στον τρόπο που αυτή αντιστοιχεί τα κάθε λογής μαθηματικά εργαλεία (θεωρήματα, προτάσεις, αποδεικτικές τεχνικές κ.ά.) και τη συνολική μαθηματική γνώση που θεωρείται γνωστή τη στιγμή που ένας μαθητής καλείται να λύσει μια άσκηση, σαν τα υλικά και τα εργαλεία της μαγειρικής. Μας μένει να εξετάσουμε αναλυτικότερα την (ψευδο-) έννοια της «μέτρησης». Στρέφουμε τώρα την προσοχή μας στις αποδεικτικές ασκήσεις της μορφής «να δείξετε ότι», περιοριζόμενοι στο πεδίο της σχολικής γεωμετρίας, και συγκεκριμένα στις ασκήσεις που ζητούν από τον λύτη την υπόδειξη κάποιας μετρικής σχέσης ανάμεσα σε δύο (ή περισσότερα) σχήματα. Εδώ, το ιδεολόγημα της «μέτρησης», συνεπικουρούμενο από την διαμεσολάβηση του συγγενούς με αυτό πολιτισμού της εικόνας, επενεργεί καταστροφικά στην πρόσληψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία απαιτεί συγχρόνως την αυτοτέλεια της γεωμετρικής εποπτείας (να μπορεί ο λύτης να αντιμετωπίσει με άμεσα γεωμετρικό τρόπο τα επί μέρους προβλήματα) και συγχρόνως την δυνατότητα αποστασιοποίησης από το σχήμα μέσω του κριτικού αναστοχασμού των γεωμετρικών και γενικότερα των μαθηματικών εννοιών.
Θα συνεχίσουμε την επόμενη Κυριακή
*Γιάννης-Παναγιώτης Βούλγαρης, απόφοιτος του Μαθηματικού Πατρών
*Τάσος Πατρώνης, αφυπηρετήσας επίκουρος καθηγητής του Μαθηματικού Πατρών
[1] L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, μτφρ. Κιτσόπουλος Θ., Παπαζήση, 1978, σελ. 112, § 5. 634.
[2] Ό.π., σελ. 127, § 6.371 και § 6.372.
[3] Ό.π., σελ. 114, § 6.1 και § 6.11.
