Ακολουθήστε την «ΑΥΓΗ»
Ο επιλεγμένος κατάλογος δεν υπάρχει πλέον.

Οι περιπέτειες της τετραγωνικής ρίζας του -1

Φανταστικές ιστορίες, Μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις Κάτοπτρο, σελ. 304   Κύριοι, αυτό που βλέπετε () είναι σίγουρα σωστό, αν και απολύτως παράδοξο. Δεν το...

ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

PAUL J. NAHIN, Φανταστικές ιστορίες, Μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις Κάτοπτρο, σελ. 304

 

Κύριοι, αυτό που βλέπετε () είναι σίγουρα σωστό, αν και απολύτως παράδοξο. Δεν το κατανοούμε και δεν ξέρουμε τι σημαίνει. Ωστόσο, αφού το αποδείξαμε, έχουμε τη βεβαιότητα ότι είναι αληθές.

Benjamin Peirce, 1866

 

Είναι γνωστό πως υπάρχουν πολλών ειδών αριθμοί στα μαθηματικά. Ακόμη κι όσοι έχουν ισχυρά απωθήσει τα όσα διδάχτηκαν επ' αυτών στη μέση εκπαίδευση δεν μπορεί να μη θυμούνται πως υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί, φυσικοί, ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί -έστω κι αν δεν μπορούν όλες αυτές τις φυλές να τις ορίσουν, τα ονόματά τους σίγουρα κάτι τους λένε.

Αυτό που, ίσως, δεν ξέρουν οι περισσότεροι είναι πως οι ταξινομήσεις και οι κατηγορίες των αριθμών έχουν τη δική τους ιστορία, τις διαμφισβητήσεις και τις απορρίψεις τους. Πολλές φορές, μάλιστα, σε συνθήκες άγριων συγκρούσεων. Η ιερή αγανάκτηση των πυθαγορείων απέναντι στους άρρητους, αυτούς, δηλαδή, τους αριθμούς, που δεν έχουν ακέραια ή ρητή τετραγωνική ρίζα και η συνακόλουθη μαχητική τους απόρριψη είναι ένα πολύ διάσημο επεισόδιο. Το ίδιο και ο ανάλογος καθολικός εξοβελισμός από τους αρχαίους των αρνητικών αριθμών ως στερουμένων νοήματος, στο μέτρο που δεν μπορούσαν να βρουν καμιά φυσιολογική ερμηνεία για έναν αριθμό που είναι «λιγότερο από τίποτα».

Ως προς την αμηχανία απέναντι στους αρνητικούς αριθμούς, αυτούς, δηλαδή που είναι «λιγότερο από τίποτα», είναι πολύ χαρακτηριστική η στάση και η πρακτική του Διόφαντου. Όπως σημειώνεται στις Φανταστικές ιστορίες, στο πρόβλημα 2 του 5ου βιβλίου του, ο Διόφαντος «γράφει για την εξίσωση 4χ+20=4 ότι είναι «άτοπος»1, διότι αλλιώς θα οδηγούσε στην «αδύνατη» λύση χ=-4. Συνεπής προς αυτή τη θέση, [...] χρησιμοποιεί μόνο τη θετική ρίζα όταν λύνει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Μέχρι και τον 16ο αιώνα ακόμα, οι μαθηματικοί αναφέρονταν στις αρνητικές ρίζες των εξισώσεων χρησιμοποιώντας όρους όπως «πλαστές», «άτοπες» ή «ψευδείς»».

Και αν τόσο κακό έγινε για τους αρνητικούς, μπορεί ο καθένας να αναλογιστεί πόσο απαράδεκτη έννοια θεωρήθηκε η τετραγωνική ρίζα τους2. Αφού χαρακτηρίστηκε, ανά τους αιώνες, αριθμός «περίπλοκος» και «εξεζητημένος», βρήκε τη διαρκή της ονομασία, ως «φανταστικός» αριθμός, με βαπτιστή τον Καρτέσιο και, αργότερα, και το σύμβολό της, που σε ό,τι αφορά το -1 είναι το πολυεμφανιζόμενο i.

Την ιστορία και την θεωρία, τις ιδιότητες και τις εφαρμογές αυτών των αριθμών αφηγούνται οι Φανταστικές ιστορίες του Nahin. Και το κάνουν με έναν εξαιρετικά ελκυστικό τρόπο. Προσοχή, όμως! Ενώ το βιβλίο δεν απαιτεί να ξέρεις ήδη αυτό που διαβάζεις, δεν είναι και «εύκολο». Στην πραγματικότητα είναι το είδος του έργου, που αποδεικνύει πως μπορείς να κατανοήσεις το αντικείμενο που διεξέρχεται, αρκεί να μην αναζητάς «βασιλικές οδούς». Με θεμέλιο τα μαθηματικά του Λυκείου για ένα μεγάλο τμήμα του βιβλίου, με χαρτί και με μολύβι και, κυρίως, με μεγάλη συγκέντρωση ένας ολόκληρος κόσμος, αληθινά «φανταστικός» θα ανοίξει.

Οι Φανταστικές ιστορίες, λοιπόν, είναι ένα βιβλίο με πρωταγωνιστές τους φανταστικούς αριθμούς. Σωστότερα, με πρωταγωνιστές τους μιγαδικούς αριθμούς, αριθμούς, δηλαδή, σύνθετους, με πραγματικό και φανταστικό μέρος. Αριθμούς ανάμικτους, «κρεολούς», σύμβολο ενός μαθηματικού αντιρατσισμού(!), που δεν υπολήπτεται καθόλου την «καθαρότητα».

Ας ξαναπάμε, όμως, στην αρχή να θυμηθούμε τα βασικά. Όπως είναι γνωστό, τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού a ονομάζουμε τον αριθμό b, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει ως αποτέλεσμα τον a. Δηλαδή, όταν bb=a, τότε =b. Από αυτά είναι πρόδηλο πως, για οποιοδήποτε πραγματικό b, το a δεν μπορεί παρά να είναι πάντοτε θετικό. Αν, π.χ., έχουμε b=+2, τότε έχουμε a=+4, ενώ στην περίπτωση που b=-2 τότε και πάλι ισχύει πως a=+4. Φαίνεται, συνεπώς, πως μόνο οι θετικοί πραγματικοί «δικαιούνται» τετραγωνικής ρίζας. Στην περίπτωση που a=-4 «δεν υπάρχει» τετραγωνική ρίζα. Κι έτσι, επίσης, «δεν υπάρχουν» οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, όταν στο ανάπτυγμα τους περιέχουν τέτοιου τύπου «ανύπαρκτες» οντότητες.

Εκτός εάν τους δώσουμε εμείς μια τυπική «ύπαρξη». Και πούμε, όπως έγινε άλλωστε, πως: αν bb=-4, δηλαδή b2=-4, τότε b====2i. Θέτοντας =i, έχουμε, πλέον, την δυνατότητα χειρισμού αυτών των «ανώμαλων» οντοτήτων, πράγμα που μας παρέχει την ευχέρεια να συνεχίζουμε τους υπολογισμούς ή άλλα ενδιαφέροντα πράγματα, παρόλη την «ανωμαλία».

Το i, η φανταστική μονάδα, μας δίνει τη δυνατότητα να παίξουμε κατασκευάζοντας ένα νέο σύνολο αριθμών, που αποτελείται από οντότητες της μορφής z=α+βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. Αυτοί είναι οι μιγαδικοί (ανάμικτοι) αριθμοί.

Και μετά; Βάλαμε, λέγοντάς την i, την ανωμαλία κάτω από το χαλί και συνεχίσαμε κάνοντας σα να μην έγινε τίποτε;

Κάθε άλλο. Η εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών επαύξησε ασύλληπτα τις μαθηματικές μας δυνατότητες, αλλά, πράγμα αληθινά παράδοξο, και τις φυσικές μας ανακαλύψεις. Ακολουθώντας τον Nahin, θα επιλύσουμε τριτοβάθμιες εξισώσεις, θα κατασκευάσουμε γεωμετρικά αντικείμενα, που καιρό έμεναν στη σκιά για την εποπτεία μας, θα δούμε πώς υπολογίζεται ο π με τη βοήθεια των μιγαδικών, θα μάθουμε για νιοστές ρίζες, άπειρα αθροίσματα, συναρτήσεις γάμμα και ζήτα και ειδικά ολοκληρώματα. Η χρήση των «σύμπλοκων του i», κάνει όλα αυτά κι ακόμη περισσότερα κατά πολύ ευκολότερα ή, ακόμη, και εφικτά.

Εντυπωσιακό, όμως, είναι και πως η αξιοποίηση των μιγαδικών μας ανοίγει πόρτες για τον φυσικό κόσμο, όπως είναι «εκεί έξω». Πόρτες, τις οποίες μόνο με τα «φανταστικά» κλειδιά αυτών των αριθμών μπορούμε να ανοίξουμε. Είτε αφορούν την επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων είτε την πλήρη απόδειξη των νόμων για την πλανητική κίνηση- και άρα την οικοδόμηση της δυνατότητάς μας να ταξιδεύουμε στο διάστημα, δεν υπάρχει αμφιβολία πως χωρίς τους μιγαδικούς πολλά από αυτά τα πολύ σημαντικά «πρακτικά» θα ήταν αδύνατο να εξελιχθούν.

Το θέμα, ωστόσο, δεν αφορά μόνο ή κυρίως τις πρακτικές εφαρμογές. Φαίνεται πως η τετραγωνική ρίζα του -1 έχει μια στενή συνάφεια με τη φυσική πραγματικότητα γενικά. Όπως μια σειρά λίγων αριθμών (ο π, ο e, o φ), έτσι και ο i φαίνεται να είναι εγγεγραμμένος στο «γενετικό κώδικα» του Σύμπαντος.

Ας το δούμε σκύβοντας σε μια από τις πιο παράξενες, ασαφείς και επίμονες έννοιες, που αφορούν τη φυσική πραγματικότητα. Αναφέρομαι στην έννοια του χρόνου, αυτού του τόσου κοινού και τόσο δύσκολα ορίσιμου «πράγματος», έννοια με την οποία πολλοί φιλόσοφοι βασανίστηκαν από την αρχαιότητα. Μέχρις ότου ο Αυγουστίνος, επιχειρώντας να απαντήσει σχετικά με το «τί έκανε ο Θεός πριν από τη δημιουργία του κόσμου», ισχυρίστηκε πως «ο κόσμος δημιουργήθηκε με τον χρόνο και όχι στον χρόνο». Που σημαίνει πως χρόνος πριν από τη Δημιουργία δεν υπήρχε, πως η Δημιουργία υπήρξε και Δημιουργία του χρόνου. Για να ακολουθήσει ο Λάιμπνιτς και ο Καντ, οι οποίοι εμβριθώς ανέπτυξαν τις ισχυρότατες αντινομίες, που προκύπτουν με τη διαχείριση του χρόνου. Αιώνιος ο ίδιος ή δημιούργημα κι αυτός ενός Πρώτου Συμβάντος χωρίς φυσική αιτία, απόλυτα «κενός» πριν (;) να υπάρξει το Σύμπαν ή «εκεί από πάντα» μαζί με ένα Σύμπαν παντοτινό επίσης, που υπάρχει για «άπειρο» χρόνο; Ερωτήσεις, των οποίων οι απαντήσεις προσκρούουν σε ανυπέρβλητες λογικές αντιφάσεις, όπως κατεξοχήν έδειξε η Κριτική του Καθαρού Λόγου κατεξοχήν.

Εκτός εάν... εισαγάγουμε, όπως πρότεινε ο Stephen Hawking, την ιδέα του φανταστικού χρόνου, ενός χρόνου, ο οποίος στην «πρώτη φάση» του σύμπαντος, στα πρώτα, δηλαδή, 10-43 δευτερόλεπτα «μετριέται» σε φανταστικές μονάδες3. Κι έτσι χειριστούμε την κβαντική απροσδιοριστία ενός αρχικού χωροχρόνου, όπου χώρος και χρόνος είναι απολύτως αδιαφοροποίητοι, όντας μια «ενιαία και ασαφής» οντότητα από κοινού. Τότε δεν χρειαζόμαστε ούτε κάποιο υπερφυσικό Πρώτο Συμβάν ούτε μια χρονική απειρότητα. Αρκεί, λοιπόν, να βάλουμε την τετραγωνική ρίζα του -1 στο παιχνίδι για να επιλυθούν «αιώνια ερωτήματα». Ποια μεγαλύτερη απόδειξη χρειάζεται για τη φανταστική της χρησιμότητα;

1 Όπερ άτοπον, δει γαρ τας δ΄ μονάδας μη ελάσσονας είναι των κ΄ μονάδων

2 Να πώς το θέτει ο μεγάλος Euler: «Όλες οι παραστάσεις του τύπου , κ.λπ., είναι συνεπώς απίθανοι ή φανταστικοί αριθμοί [...] Για τέτοιους αριθμούς μπορούμε με βεβαιότητα να ισχυριστούμε ότι δε είναι ούτε τίποτα ούτε μεγαλύτεροι από το τίποτα ούτε μικρότεροι από το τίποτα, και αυτό αναγκαστικά τους καθιστά φανταστικούς ή απίθανους».

3 Για μια πολύ περιεκτική και απλή παρουσίαση: Paul Davies, About Time -Einstein's Unfinished Revolution, Penguin Books, London, 1995. Ιδίως σελ. 183-195, Ch. 8: Imaginary Time.

Δείτε όλα τα σχόλια

Κύριο άρθρο

Οι περικοπές μισθών είναι η αρχή

Ο περισσότερος κόσμος δεν το έχει συνειδητοποιήσει, υπνωτισμένος από το success story των καναλιών. Όμως το ξήλωμα της κοινωνικής συνοχής έχει ήδη ξεκινήσει με τη μείωση των μισθών κατά 20% και την απελευθέρωση των απολύσεων.

Δειτε ολοκληρο το αρθρο
Όλες οι Ειδήσεις